[阅读]定义:函数y=x的图象上有两点A(x1.y1).B(x2.y2).其中x1＜x2.x1.x2 均为整数.AB=42.经过点A.B的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(x3.y3).如果x3为正整数.那么我们称这样的抛物线为线段AB的共生抛物线.[尝试]若A的坐标为(1.1).求此时线段AB的共生抛物线的函数关系式,[探究]若线段AB的共生抛物线与x轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

[阅读]
定义：函数y=x（x＞0）的图象上有两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁＜x₂，x₁、x₂ 均为整数，AB=4

，经过点A、B的抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）的顶点为C（x₃，y₃），如果x₃为正整数，那么我们称这样的抛物线为线段AB的共生抛物线，
[尝试]
若A的坐标为（1，1），求此时线段AB的共生抛物线的函数关系式；
[探究]
若线段AB的共生抛物线与x轴的两个交点为E（m，0），F（n，0），其中m＜n，且m、n均为整数，我们称此时的抛物线为完美共生抛物线，求m最小时，线段AB的完美共生抛物线的函数关系式，并求出此时△ABC的面积．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：[尝试]根据条件可求得B点坐标，可知x₃=2或4，设出顶点式方程，把A、B坐标代入可求得共生抛物线的解析式；
[探究]可设A为（t，t），则有B为（t+4，t+4），可知x₃=1或3，设出顶点式方程，把A、B坐标代入可求得共生抛物线的解析式，令y=0，根据E、F的横坐标均为整数可是求得t的最小值，可求得其解析式，可求得A、B、C三点的坐标，计算△ABC的面积即可．

解答：解：[尝试]：由A（1，1），AB=4

，可求得B（5，5），
又由对称性得顶点横坐标不可能为3，
可设抛物线为y=a（x-2）²+k或y=a（x-4）²+k，
当y=a（x-2）²+k时，把A、B两点坐标代入可得

a+k=1

9a+k=5

，解得

，因a＜0，故舍去；
当y=a（x-4）²+k时，把A、B两点坐标代入可得

9a+k=1

a+k=5

，解得

a=-

；
∴线段AB的共生抛物线的函数关系式y=-

（x-4）²+

；
[探究]：设A（t，t），由AB=4

，
∴B（t+4，t+4），
由又由对称性得顶点横坐标不可能为2，
可设抛物线为y=a（x-1）²+k或y=a（x-3）²+k，
当y=a（x-t-1）²+k时，把A、B两点坐标代入可得

a(t-t-1)2+k=t

a(t+4-t-1)2+k=t+4

，解得

k=t-

，因a＜0，故舍去；
当y=a（x-t-3）²+k时，把A、B两点坐标代入可得

a(t-t-3)2+k=t

a(t+4-t-3)2+k=t+4

，解得

a=-

k=t+

；
∴线段AB的共生抛物线的函数关系式y=-

（x-t-3）²+t+

，
令y=0，可得（x-t-3）²=2t+9，
∵E、F点的横坐标均为整数，
∴2t+9为平方数，
∴t的最小值为8，
∴线段AB的完美共生抛物线的函数关系式为y=-

（x-11）²+

，
∴A点坐标为（8，8），B点坐标为（12，12），C点坐标为（-11，

），
如图，分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为L、M、N，

则可知AL=8，CN=

，BM=12，LN=3，MN=1，LM=4，
S_△ABC=S_梯形ALNC+S_梯形CNMB-S_梯形ALMB=

×（8+

）×3+

×（12+

）×1-

×（8+12）×4=3．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及一元二次方程的解法、三角形的面积等知识的综合应用．在（1）中确定出顶点的坐标是解题的关键，注意分两种情况，在（2）用A的坐标表示出二次函数解析式，再结合条件确定出t的最小值是解题的关键．本题主要考查新定义的理解，对这类问题准确理解所给出的定义是解题的关键．