题目内容
4．
如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=$\sqrt{6}$，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}π$ | B． | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}π$ | C． | $\sqrt{3}π$ | D． | $\frac{{\sqrt{6}}}{2}π$ |
分析 连接OP，AQ，根据△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，即可得出△ABQ∽△OBP，进而得到∠BAQ=∠BOP，$\frac{AQ}{OP}$=$\frac{AB}{OB}$，求得AQ=$\sqrt{6}$，根据点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的弧长，即可得到点Q运动的路径长．
解答 
解：如图，连接OP，AQ，
设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，
∵OA=OB，∠AOB=90°，OB=$\sqrt{6}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，OP=OC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，
∴$\frac{BQ}{BP}$=$\frac{BA}{BO}$，∠ABO=∠QBP=45°，
∴$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{BP}{BO}$，∠ABQ=∠OBP，
∴△ABQ∽△OBP，
∴∠BAQ=∠BOP，$\frac{AQ}{OP}$=$\frac{AB}{OB}$，即$\frac{AQ}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$，
∴AQ=$\sqrt{6}$，
又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，
∴0°≤∠BOP≤90°，
∴0°≤∠BAQ≤90°，
∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，
∴点Q运动的路径长为$\frac{90×π×\sqrt{6}}{180}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}π$，
故选：D．
点评 本题主要考查了轨迹，等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例以及对应角相等，得出点Q的运动轨迹．
如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．
如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AB∥CD，AE=FC，∠B=∠D，求证：BF=DE．
某校数学兴趣小组成员刘明对本班上学期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析（每个人的成绩各不相同），绘制成如下下频数分布表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）频数、频率分布表中a=16，b=0.16 c=50；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果要画该班上学期期末考试数学成绩的扇形统计图，那么分数在69.5-79.5之间的扇形圆心角的度数是144°
（4）张亮同学成绩为79分，他说：“我们班上比我成绩高的人还有$\frac{2}{5}$，我要继续努力．”他的说法正确吗？请说明理由．
| 分组 | 49.5～59.5 | 59.5～69.5 | 69.5～79.5 | 79.5～89.5 | 89.5～100.5 | 合计 |
| 频数 | 2 | 8 | 20 | a | 4 | c |
| 频率 | 0.04 | b | 0.40 | 0.32 | 0.08 | 1 |