Question

19．已知，直线y=-2x+4交x轴于A，交y轴于B点，交双曲线y=$\frac{k}{x}$于第二象限的点C，若BC=2$\sqrt{5}$．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若P为第二象限内双曲线上一点（P在C点左侧），若S_△PBC=4，求P点的坐标；
（3）将直线AB向右平移至A′B′（如图2），交x轴正半轴于A′，交y轴正半轴于B′，作B′M∥x轴交双曲线于M，MN∥A′B′交y轴于N，若四边形A′NMB′为等腰梯形，求直线MN的解析式．

Answer 1

分析 （1）先求AB=BC，作辅助线，得OE=OA=2，即C的横坐标为-2，代入直线AB的解析式可得C的坐标，因为点C在反比例函数的图象上，可得k的值，从而得：双曲线的解析式为y=$\frac{-16}{x}$；
（2）如图2，作辅助线，构建梯形，设设P（x，-$\frac{16}{x}$），利用面积差得S_△PBC=4，列关于x的方程，解出即可；
（3）先画出图形，设B'（0，2b），表示M的坐标，根据腰长相等：B'M=A'N，列方程可得b的值，分四种情况讨论可得MN的解析式．

解答 解：（1）如图1，由y=-2x+4得，A（2，0），B（0，4），
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AB=BC，
过C作CE⊥x轴于E，则BO∥CE，
∴OE=OA=2，
把x=-2代入y=-2x+4，得y=8，
∴C（-2，8），
∵C在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=（-2）×8=-16，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{-16}{x}$；

（2）如图2，设P（x，-$\frac{16}{x}$），
∵P在C点左侧，
∴x＜-2，
过P作PF⊥x轴于F，过C作CE⊥x轴于E，
∴S_△PBC=S_梯形PFEC+S_梯形CEOB-S_梯形PFOB，
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{16}{x}$+8）（-x-2）+$\frac{1}{2}$（4+8）×2-$\frac{1}{2}$（-$\frac{16}{x}$+4）•（-x）=4，
4x²=32，
x=$±2\sqrt{2}$，
∵x＜-2，
∴x=-2$\sqrt{2}$，
∴P（-2$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$）；

（3）如图3，设B'（0，2b），
∵B′M∥x轴，
∴M（-$\frac{8}{b}$，2b），
∴B′M=$\frac{8}{b}$，
∵AB∥A′B′∥MN，
∴tan∠OB′A′=tan∠MNB′=$\frac{OA′}{OB′}$=$\frac{MB′}{B′N}$=$\frac{1}{2}$，
∴B'N=2B'M=$\frac{16}{b}$，
∴ON=B'N-OB'=$\frac{16}{b}$-2b，
∵四边形A′NMB′为等腰梯形，
∴B′M=A′N，
∴$\frac{8}{b}$=$\sqrt{{b}^{2}+（\frac{16}{b}-2b）^{2}}$，
5b⁴-64b²+192=0，
（b²-8）（5b²-24）=0，
b₁=$±2\sqrt{2}$，b₂=$±\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
设MN的解析式为：y=-2x+k，
①当b=2$\sqrt{2}$时，M（-2$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$），代入MN的解析式中，得k=0，
∴MN的解析式为：y=-2x，
此时N与O重合，四边形A'NMB'是平行四边形，不符合题意；
②当b=-2$\sqrt{2}$时，M（2$\sqrt{2}$，-4$\sqrt{2}$），代入MN的解析式中，得k=0，
∴MN的解析式为：y=-2x，
四边形A'NMB'是平行四边形，不符合题意；
③当b=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$时，M（-$\frac{2\sqrt{30}}{3}$，$\frac{4\sqrt{30}}{5}$），代入MN的解析式中，得k=-$\frac{8\sqrt{30}}{15}$，
∴MN的解析式为：y=-2x-$\frac{8\sqrt{30}}{15}$，
④当b=-$\frac{2\sqrt{30}}{5}$时，M（$\frac{2\sqrt{30}}{3}$，-$\frac{4\sqrt{30}}{5}$），代入MN的解析式中，得k=$\frac{8\sqrt{30}}{15}$，
∴MN的解析式为：y=-2x+$\frac{8\sqrt{30}}{15}$，
综上所述，MN的解析式为：y=-2x-$\frac{8\sqrt{30}}{15}$或y=-2x+$\frac{8\sqrt{30}}{15}$．

点评 本题考查了待定系数法、直线与坐标轴的交点、函数图象上点的特征、等腰梯形和平行四边形的性质和判定、三角形和梯形的面积等知识，第3问有难度，计算量大，注意点M在反比例函数的图象上，若四边形A′NMB′为等腰梯形时，当腰B′M=A′N时，B′M与A′N不平行．