Question

在抛物线y=x（a-x ）与x轴所围图形的内接矩形（一边在x轴上）中（其中a为常数），周长最大的两边之长分别为

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题,探究型,函数思想

分析：如图，设B（x，0），0＜x＜

a

2

，然后根据已知条件可以分别用x表示相等BC、AB的长度，接着就可以用x表示矩形ABCD的周长，最后利用二次函数的性质即可解决问题．

解答：解：题中的矩形ABCD如图所示，
设B（x，0），0＜x＜

a

2

，
则C（a-x，0），
则BC=（a-x）-x=a-2x，AB=x（a-x），
∴矩形周长C=2[x（a-x）+（a-2x）]
=-2(x-

a-2

2

)2+

a2+4

2

，
当x=

a-2

2

时，即BC=2，AB=

a2-4

4

时，周长最大．
故答案为：2，

a2-4

4

．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是利用交点坐标分别表示线段的长度，最后利用二次函数的最值即可求解．