Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=2AD，⊙O的直径为10，求线段AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接OC，如图，由OA=OC得到∠1=∠3，由AC平分∠PAE得∠3=∠4，则∠1=∠4，再根据CD⊥PA得到∠2+∠4=90°，则∠1+∠2=90°，所以OC⊥CD，于是根据切线的判定即可得到CD为⊙O的切线；
（2）连结CE，如图，利用圆周角定理得∠ACE=90°，则可证明Rt△ACD∽Rt△AEC，利用相似比得到AC²=10AD，设AD=x，则CD=2x，AC²=10x，接着在Rt△ADC中利用勾股定理得到4x²+x²=10x，解得x₁=0（舍去），x₂=2，所以AC²=20，最后利用算术平方根的定义得到AC的长．

解答：（1）证明：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∵AC平分∠PAE，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∵CD⊥PA，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：连结CE，如图，
∵AE为直径，
∴∠ACE=90°，
∵∠3=∠4，
∴Rt△ACD∽Rt△AEC，
∴

AC

AE

=

AD

AC

，
∴AC²=10AD，
设AD=x，则CD=2x，AC²=10x，
在Rt△ADC中，∵CD²+AD²=AC²，
∴4x²+x²=10x，解得x₁=0（舍去），x₂=2，
∴AC²=20，
∴AC=2

5

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．