Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E．则AD=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OD、OE，先设AD=x，再证明四边形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，从而得出CD=CE=4-x，BE=6-（4-x），可证明△AOD∽△OBE，再由比例式得出AD的长即可．

解答：解：连接OD、OE，
设AD=x，
∵半圆分别与AC、BC相切，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴OD=CE，OE=CD，
又∵OD=OE，
∴CD=CE=4-x，BE=6-（4-x）=x+2，
∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠A=∠BOE，
∴△AOD∽OBE，
∴

AD

OE

=

OD

BE

，
∴

x

4-x

=

4-x

x+2

，
解得x=

8

5

，
故答案为

8

5

．

点评：本题考查了切线的性质．相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题．