Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函y=

m

x

的图象交于第一、第三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-6，n），线段OA=5，E为正半轴上的一点，且tan∠AOC=

3

4

．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b≥

m

x

的解集．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）首先过点A作AD⊥x轴，由线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOC=

3

4

，可求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）把点B的坐标（-6，n）代入y=

12

x

得，确定出点B的坐标，根据A、B的坐标利用待系数法即可求得直线AB的解析式，进而求得C的坐标，根据S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC即可求出三角形AOB的面积；
（2）观察图象，即可求得一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围，即不等式kx+b≥

m

x

的解集．

解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴，
∵在Rt△AOD中，tan∠AOE=

AD

OD

=

3

4

，
设AD=3x，OD=4x，
∵OA=5，
在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=3，OD=4，
∴A（4，3），
把A（4，3）代入反比例函数y=

m

x

中，
解得：m=12，
则反比例函数的解析式为y=

12

x

；
（2）点B的坐标（-6，n）代入y=

12

x

得：n=-2，
∴B（-6，-2），
∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函y=

m

x

的图象交于第一、第三象限内的A、B两点，
∴

4k+b=3 -6k+b=-2

，解得

k= 1 2 b=1

∴一次函数的解析式是y=

1

2

x+1；
∴C（-2，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×2×3+

1

2

×2×2=5；

（2）如图，一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围为：-6≤x＜0或x≥4．
即不等式kx+b≥

m

x

的解集为：-6≤x＜0或x≥4．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．