如图.在平面直角坐标系中.O为坐标原点.抛物线y=ax2-2ax-3a与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.BO=CO．(1)求抛物线的解析式,(2)点P是第一象限抛物线上的一动点.连接AP.交y轴于点D.连接CP.设P点横坐标为t.△CDP的面积为S.求S与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围),的条件下.过点P作PE⊥x轴于点E.连接PB.过点A作AF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax-3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，BO=CO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一动点，连接AP，交y轴于点D，连接CP，设P点横坐标为t，△CDP的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点P作PE⊥x轴于点E，连接PB，过点A作AF⊥PB于点F，交线段PE于点G，若点H在x轴负半轴上，OH=2GE，点M（0，m）在y轴正半轴上，连接PM、PH，∠HPM=2∠BHP，PH=2PM，求m的值．

分析（1）由ax²-2ax-3a=0时，解得x=3或-1，推出A（-1，0），B（3，0），推出OA=1，OB=3，推出OC=OB=3，推出-3a=3，可得a=-1，即可解决问题；
（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，PK⊥y轴于K．P（t，-t²+2t+3，由∠PAE=∠DAO，可得tan∠PAE=tan∠DAO，可得$\frac{PE}{AE}$=$\frac{DO}{AO}$，即$\frac{-{t}^{2}+2t+3}{t+1}$=$\frac{OD}{1}$，可得OD=3-t，CD=3-OD=t，再根据S=$\frac{1}{2}$PK•CD=计算即可；
（3）首先证明△PKM≌△PKN，推出PM=PN，MK=NK，再证明△HON≌△PKN，推出PK=HO，由∠3=∠5，可得tan∠3=tan∠5，可得$\frac{GE}{AE}$=$\frac{BE}{PE}$，BE=OB-OE=3-t，即$\frac{GE}{t+1}$=$\frac{3-t}{-{t}^{2}+2t+3}$，可得GE=1，推出OH=2EG=2，推出PK=2，PE=3，推出OK=3=OC，推出点K与点C重合，由此即可解决问题．

解答解：（1）当ax²-2ax-3a=0时，解得x=3或-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴OC=OB=3，
∴-3a=3，
∴a=-1，
∴y=-x²+2x+3．

（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，PK⊥y轴于K．

∵点P在第一象限，横坐标为t，
∴P（t，-t²+2t+3），
∵∠PKO=∠COB=∠PEO=90°，
∴四边形KPEO是矩形，
∴PK=OE=t，PE=OK，
∴PE=-t²+2t+3，AE=t+1，
∵∠PAE=∠DAO，
∴tan∠PAE=tan∠DAO，
∴$\frac{PE}{AE}$=$\frac{DO}{AO}$，
∴$\frac{-{t}^{2}+2t+3}{t+1}$=$\frac{OD}{1}$，
∴OD=3-t，
∴CD=3-OD=t，
∴S=$\frac{1}{2}$PK•CD=$\frac{1}{2}$t²．

（3）设PH交y轴于点N．

∵∠PKO=∠PKM=∠HON=90°，
∴PK∥x轴，
∴∠1=∠PHB，
∵∠MPH=2∠PHB，
∴MPH=2∠1，即∠1=∠2，
∵∠PKM=∠PKN，PK=PK，
∴△PKM≌△PKN，
∴PM=PN，MK=NK，
∵PH=2PM，
∴PN=HN，
∵∠HON=∠PKN，∠1=∠BHP，
∴△HON≌△PKN，
∴PK=HO，KN=ON，
∵AF⊥PB，
∴∠AFB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠PEB=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠5，
∴tan∠3=tan∠5，
∴$\frac{GE}{AE}$=$\frac{BE}{PE}$，∵BE=OB-OE=3-t，
∴$\frac{GE}{t+1}$=$\frac{3-t}{-{t}^{2}+2t+3}$，
∴GE=1，
∴OH=2EG=2，
∴PK=2，PE=3，
∴OK=3=OC，
∴点K与点C重合，
∴KN=$\frac{3}{2}$，
∴OM=3KN=$\frac{9}{2}$，即m=$\frac{9}{2}$