Question

1．如图，点P₁，P₂是反比例函数图象y=$\frac{4}{x}$上任意两点，过点P₁作y轴的平行线，与过点P₂作x轴的平行线相交于点N，若点N（m，n）恰好在另一个反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，且NP₁•NP₂=2，则k的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$或2
• B． $\frac{1}{2}$或8
• C． 2或6
• D． 2或8

Answer 1

分析 由P₁N∥y轴，P₂N∥x轴得到P₁的横坐标为m，P₂的纵坐标为n，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得P₁（m，$\frac{4}{m}$），P₂（$\frac{4}{n}$，n），则NP₁=$\frac{4}{m}$-n，NP₂=$\frac{4}{n}$-m，所以（$\frac{4}{m}$-n）（$\frac{4}{n}$-m）=2，解关于mn的一元二次方程得mn=2或mn=8，加上点N（m，n）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，则k=mn，于是可得k=2或8．

解答 解：∵P₁N∥y轴，P₂N∥x轴，
∴P₁的横坐标为m，P₂的纵坐标为n，
而点P₁，P₂是反比例函数图象y=$\frac{4}{x}$上任意两点，
∴P₁（m，$\frac{4}{m}$），P₂（$\frac{4}{n}$，n），
∴NP₁=$\frac{4}{m}$-n，NP₂=$\frac{4}{n}$-m，
∴（$\frac{4}{m}$-n）（$\frac{4}{n}$-m）=2，
整理得（mn）²-10mn+16=0，解得mn=2或mn=8，
∵点N（m，n）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=mn，
∴k=2或8．
故选D．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．