Question

10．已知抛物线y=ax²-2ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中．A（-1，0），C（0，-3）．
（1）求此抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，直线y=x+b经过抛物线的顶点P，现将该抛物线沿直线y=x+b向右上方平移，设平移后的抛物线的顶点为Q，平移后的抛物线与x轴的交点为M、N（点M在点N的右侧），问：在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△MNQ为等边三角形？若存在，求出此时的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、C两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、c的值，可求得抛物线的解析式，化为顶点式可求得P点坐标；
（2）把P点坐标代入直线解析式可求得b=-5，则可设Q点坐标为（t，t-5），过QC⊥x轴于点C，连接MQ，则可求得M点的坐标，把M点坐标代入平移后的抛物线解析式可求得t，可求得平移后的抛物线解析式．

解答 解：（1）∵抛物线过A（-1，0），C（0，-3），
∴把A、C两点的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴P（1，-4）；
（2）存在．理由如下：
∵直线y=x+b过P点，
∴把P点坐标代入可得-4=1+b，解得b=-5，
∴直线解析式为y=x-5，
设Q点坐标为（t，t-5），则平移后的抛物线解析式为y=（x-t）²+t-5，
∵平移后的抛物线与x轴有交点，
∴t-5＜0，
如图，过Q作QC⊥x轴于点C，连接MQ，则QC=5-t，OC=t

∵△MNQ为等边三角形，
∴tan∠QMC=$\frac{CQ}{CM}$=，即$\frac{5-t}{CM}$=$\sqrt{3}$，解得CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（5-t），
∴OM=OC+CM=t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（5-t），
∴M（t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（5-t），0），
代入平移后的抛物线解析式可得$\frac{1}{3}$（5-t）²+t-5=0，解得t=5（舍）或t=2，
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-2）²-3，
综上可知存在满足条件的抛物线，此时抛物线的解析式为y=（x-2）²-3．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的顶点坐标、等边三角形的性质等知识点．在（1）中注意待定系数法的步骤，在（2）中用Q点的坐标表示出M点的坐标是解题的关键，注意等边三角形性质的运用．本题考查知识点较基础，综合性适中，难度不大．