Question

6．如图，MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E为$\widehat{MH}$上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME²=EF•EN．
（1）求证：QN=QF；
（2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）如图1，通过相似三角形（△MEF∽△MEN）的对应角相等推知，∠1=∠EMN；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；
（2）如图2，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠EMF=∠ENM，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧MH的中点，则OE⊥MQ；然后通过解直角△MNE求得cos∠Q=sin∠GMO=$\frac{r-1}{r}$=$\frac{3}{5}$，则可以求r的值．

解答 （1）证明：如图1，

∵ME²=EF•EN，
∴$\frac{ME}{EN}$=$\frac{EF}{ME}$．
又∵∠MEF=∠MEN，
∴△MEF∽△MEN，
∴∠1=∠EMN．
∵∠1=∠2，∠3=∠EMN，
∴∠2=∠3，
∴QN=QF；
（2）解：如图2，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r．

由（1）知，△MEF∽△MEN，则∠4=∠5．
∴$\widehat{ME}$=$\widehat{EH}$．
∴OE⊥MQ，
∴EG=1．
∵cos∠Q=$\frac{3}{5}$，且∠Q+∠GMO=90°，
∴sin∠GMO=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OG}{OM}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{r-1}{r}$=$\frac{3}{5}$，
解得，r=2.5，即⊙O的半径是2.5．

点评 本题考查切线的性质和相似三角形的判定与性质．在（1）中判定△MEF∽△MEN是解题的关键，在（2）中推知点E是弧MH的中点是解题的关键．