Question

4．直线l：y=-$\frac{1}{2}$x+m与x，y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（-4，-4）画平行于y轴的直线，交直线AB于点D，CD=10．
（1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）利用CD∥y轴，CD=10可得到D（-4，6），然后把点D的坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x+m中求出m的值即可得到直线l的解析式；
（2）先根据坐标轴上点的坐标特征求出A、B点的坐标，再利用两点间的距离公式计算BA和BC的长，从而可判断△ABC是等腰三角形．

解答 （1）解：∵CD∥y轴，CD=10，
而C（-4，-4），
∴D（-4，6），
把D（-4，6）代入y=-$\frac{1}{2}$x+m得2+m=6，解得m=4，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4；
（2）证明：当y=0时，-$\frac{1}{2}$x+4=0，解得x=8，则A（8，0），
当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x+4=4，
∵AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{4}^{2}+（4+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了两点间的距离公式．