题目内容

15．如图1，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠A=100°，∠ACB=60°，将△DEF沿着BE的方向以每秒2cm的速度运动到图2的位置，连接AF、CD．

（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；
（2）若AC=4cm，BC=10cm，△DEF沿着BE的方向运动时间为t秒．
①当t为何值时，?AFDC是菱形？请说明你的理由；
②?AFDC能是矩形吗？若能，求出t的值及此矩形的面积；若不能，说明理由．

分析 （1）利用△ABF≌△DEC，得出AF=CD，∠AFB=∠DCE，进而求出∠AFC=∠DGF，即可得出四边形AFDC是平行四边形；
（2）利用当t=1秒时，首先得出△CBE是等边三角形，进而求出BC=CE，即可求出四边形AFDC是菱形；
（3）当t=3秒时，A，E重合，B，D重合，即可得出矩形以及它的面积．

解答 （1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，AB=DE．
根据平移的性质得到：BF=EC．
在△ABF与△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠ABF=∠DEC}\\{BF=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴AF=CD，∠AFB=∠DCE，
∴∠AFC=∠DGF，
∴AF∥DC，
∴四边形AFDC是平行四边形；

（2）解：当t=1秒时，四边形AFDC是菱形，
∵t=1，∴AE=3-1×1=2，
∴BE=AB-AE=4-2=2，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=×4=2，
∴BC=BE，
∵∠CBA=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BC=CE，
∵四边形CEFB是平行四边形，
∴四边形CEFB是菱形；

（3）解：能，如图2，
当t=3秒时，A，E重合，B，D重合，
∵∠CAB+∠BAF=90°，∠C=∠F=90°，
∴四边形CEFB是矩形，
S矩形CEFB=AC×BC=2$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$（cm2）．

点评 此题综合考查了菱形的判定以及平行四边形的判定和矩形的判定以及矩形面积求法，利用Rt△ABC≌Rt△DEF，得出对应线段以及对应角的关系是解题关键．

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