Question

11．如图所示是反比例函数y=$\frac{2}{x}$在第一象限内的图象，A，B为该图象上两个动点，且AB=4，若点M为线段AB的中点，则线段OM的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 设A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，$\frac{2}{b}$），先利用线段中点坐标公式得到M（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$），则利用两点间的距离公式得到（a-b）²+（$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{b}$）²=16，变形为a²+b²+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=16+2ab+$\frac{8}{ab}$，由于OM²=（$\frac{a+b}{2}$）²+（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）²，然后根据代数式的变形得到OM²=8+（$\sqrt{ab}$-$\frac{2}{\sqrt{ab}}$）²，于是可判断OM的最小值为2$\sqrt{2}$．

解答 解：设A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，$\frac{2}{b}$），
∵M点为AB的中点，
∴M（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$），
∵AB=4，
∴（a-b）²+（$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{b}$）²=16，
即a²+b²-2ab+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$-$\frac{8}{ab}$=16，
∴a²+b²+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=16+2ab+$\frac{8}{ab}$，
∴OM²=（$\frac{a+b}{2}$）²+（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）²=$\frac{1}{4}$（a²+2ab+b²）+$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{ab}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$
=$\frac{1}{4}$（a²+b²+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$）+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{2}{ab}$
=4+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{2}{ab}$+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{2}{ab}$
=4+ab+$\frac{4}{ab}$，
=8+（$\sqrt{ab}$-$\frac{2}{\sqrt{ab}}$）²，
∴OM²≥8，
∴OM的最小值为2$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．解决本题的关键是运用两点间的距离公式．