Question

19．在平面直角坐标系中，等边三角形OAB中OB在x轴上，点A在第一象限，双曲线y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$交OA于点C，交AB于点D，若OC：BD=2：1，则OB=5．

Answer 1

分析 作CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，如图，利用等边三角形的性质∠COE=∠B=60°，设OE=t，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CE=$\sqrt{3}$t，OC=2t，则C（t，$\sqrt{3}$t），再把C（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$得t=2，所以OC=4，则BD=2，然后在Rt△BDF中可计算出BF=$\frac{1}{2}$BD=1，DF=$\sqrt{3}$BF=$\sqrt{3}$，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出D点坐标得到OF的长，然后计算OF+BF即可．

解答 解：作CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，如图，
∵△AOB为等边三角形，
∴∠COE=∠B=60°，
设OE=t，则CE=$\sqrt{3}$t，OC=2t，
∴C（t，$\sqrt{3}$t），
把C（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$得t•$\sqrt{3}$t=4$\sqrt{3}$，解得t₁=-2（舍去），t₂=2，
∴OC=4，
∵OC：BD=2：1，
∴BD=2，
在Rt△BDF中，BF=$\frac{1}{2}$BD=1，DF=$\sqrt{3}$BF=$\sqrt{3}$，
当y=$\sqrt{3}$时，$\frac{4\sqrt{3}}{x}$=$\sqrt{3}$，解得x=4，
∴OF=4，
∴OB=OF+BF=4+1=5．
故答案为5．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等边三角形的性质．