Question

如图，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBF，延长D交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）求证：DF•DE=DB•DC；
（3）求sin∠EDC的值和AE，EF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠AFE=∠C，根据∠C+∠A=90°，可得∠AFE+∠A=90°，即可解题；
（2）易证△DBF∽△DEC，可得

DF

DC

=

DB

DE

，即可解题；
（3）易求得AC的长，即可求得sinA的值，根据∠EDC=∠A即可求得sin∠EDC的值，易求得AF的长，即可解题．

解答：（1）证明：∵∠C=∠BFD，∠BFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠C，
∵∠C+∠A=90°，
∴∠AFE+∠A=90°，
∴∠AEF=90°，
∴DE⊥AC；
（2）证明：∵∠D=∠D，∠C=∠BFD，
∴△DBF∽△DEC，
∴

DF

DC

=

DB

DE

，
∴DF•DE=DB•DC；
（3）解：∵AC²=BC²+AB²=20，
∴AC=2

5

，
∵∠EDC=∠A，
∴sin∠EDC=sinA=

BC

AC

=

5

5

，
∵BC=BC=2，AB=4，
∴AF=2，
∴EF=AF•sinA=

2 5

5

，
∵AE²=AF²-EF²，
∴AE=

4 5

5

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了直角三角形中三角函数的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△DBF∽△DEC是解题的关键．