Question

17．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：
对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．

（1）如图，⊙O的半径为1，
①已知点A（0，2），画出点A关于⊙O的“视角”；
若点P在直线x=2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数60°；
②在第一象限内有一点B（m，m），点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标．
（2）若点P在直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标x_P的取值范围．
（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，-1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标x_C的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①由定义可知即可画出图形：当∠MPN最大时，此时点P关于⊙O的视角，此时PM与PN与⊙O相切，从而可求出视角的度数；
②由①可知：B关于⊙O的“视角”为60°，此时OB=2，根据勾股定理即列出方程即可求出m的值；
（2）点P关于⊙O的“视角”大于60°，所以点P在以O为圆心，1为半径与2为半径的圆环内．
（3）分点C在x轴正半轴和负半轴两种情况讨论计算即可．

解答 解：（1）①画如图1所示，

如图2，当∠MPN最大时，此时PM与PN与⊙O相切，
∵⊙O的半径为r=1，
∴sin∠MPO=$\frac{OM}{OP}$，
当OP最小时，此时sin∠MPO最大，即∠MPO最大，
∴sin∠MPO=$\frac{1}{2}$，
∴∠MPO=30°
∴∠MPN=2∠MPO=60°；
故答案为：60°
②∵点B关于⊙O的视角为60°，
∴BM与⊙O相切，且∠MBO=30°，
∴点B在以O为圆心，2为半径的圆上，即OB=2，

∵B（m，m） （m＞0），
∴OB=$\sqrt{{m}^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{2}$m=2，
∴m=$\sqrt{2}$
∴B（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；

（2）如图3，

∵点P关于⊙O的“视角”大于60°，
∴∠MPO＞30°，
∴sin∠MPO=$\frac{1}{OP}$＞sin30°，
∴OP＜2，
∵点P不在⊙C上，
∴1＜OP＜2
∴点P在以O为圆心，1为半径与2为半径的圆环内，
∵点P在直线y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2上，
由图4，

可得x_p=0或x_P=$\sqrt{3}$
∴0＜x_P＜$\sqrt{3}$
（3）如图5，

①当点C在x轴正半轴时，
在线段EF上取一点P，当PM，PN都与⊙C相切时，∠MPN最大，当∠MPN=120°时，连接CP，
∴∠CPM=60°，
在Rt△PCM中，CM=1，sin∠CPM=$\frac{CM}{CP}$=$\frac{1}{CP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，
∴点P和原点O重合时，视角只要小于120°时，即可，OP最大=CP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此时，满足条件的x_C$＞\frac{2\sqrt{3}}{3}$
②当点C在x轴负半轴时，同①可得，x_C＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即：满足条件的x_C$＞\frac{2\sqrt{3}}{3}$或x_C＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，“视角”的定义的理解，解（1）的关键是判断出PM，PN与⊙O相切时，“视角”最大，解（2）（3）的关键是确定出分界点的坐标，是一道中等难度的题目．