Question

9．已知抛物线y=ax²+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax²+bx+c+2=0无实数根；③a-b+c≥0；  ④$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值为3．其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 利用抛物线的对称轴方程x=-$\frac{b}{2a}$＜0可对①进行判断；抛物线与x轴最多有一个交点且抛物线开口向上，则y≥0，则可对②③进行判断；当x=-2时，y=4a-2b+c≥0，变形得到 a+b+c≥3（b-a），则利用b＞a＞0得到$\frac{a+b+c}{b-a}$≥3，则可对D进行判断．

解答 解：∵b＞a＞0，
∴抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
而抛物线开口向上，
∴关于x的方程ax²+bx+c=-2无实数根，所以②正确；
∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，
∴x取任何值时，y≥0，
∴当x=-1时，a-b+c≥0；所以③正确；
当x=-2时，y=4a-2b+c≥0，
∴a+b+c≥3b-3a，
即a+b+c≥3（b-a），
而b＞a＞0，
∴$\frac{a+b+c}{b-a}$≥3，所以④正确．
故选D．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．