在△ABC中.∠ACB=90°.CD⊥AB于点D．.AC=BC.点E.F分别在AC.BC上.∠EDF=90°.则DE与DF的数量关系为DE=DF．.AC=BC.延长BC到点F.沿CA方向平移线段CF到EG.且点G在边BA的延长线上.求证:DE=DF.DE⊥DF,.∠B=30°.延长BC到点F.沿CA方向平移线段CF到EG.且点G在边BA的延长线上.直接写出线段DE与DF的位置关系和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．
（1）如图（1），AC=BC，点E，F分别在AC，BC上，∠EDF=90°，则DE与DF的数量关系为DE=DF．
（2）如图（2），AC=BC，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA的延长线上，求证：DE=DF，DE⊥DF；
（3）如图（3），∠B=30°，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA的延长线上，直接写出线段DE与DF的位置关系和数量关系．

分析（1）欲证明DE=DF，只要证明△ADE≌△CDF即可．
（2）欲证明DE=DF，DE⊥DF，只要证明△ADE≌△CDF．
（3）欲证明DF=$\sqrt{3}$DE，DE⊥DF，只要证明△DCF∽△DAE相似比是$\sqrt{3}$即可．

解答（1）证明：如图（1）中，

∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，AD=DC=DB，
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
故答案为DE=DF．
（2）证明：如图（2）中，

∵CF=GE，CF∥EG，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∴CE∥FG，
∴∠CAB=∠FGA=45°
∵∠ECF=∠ACB=90°，
∴四边形CEGF是矩形，
∴∠GEA=∠FGE=90°，
∴∠AGF=∠GAF=45°，
∴GE=AE=CF，
∵CD=DA=DB，∠DCB=∠GAE=45°，
∴∠FCD=∠DAE=135°，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DA}\\{∠FCD=∠EAD}\\{CF=AE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△DAE，
∴DE=DF，∠EDA=∠FDC，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴DE⊥DF．
（3）结论：DF=$\sqrt{3}$DE，DE⊥DF，
理由：如图（3）中，

由（2）可知四边形CEGF是矩形，
∴∠GEA=90°，
∵∠B=30°，CD⊥AB，
∴∠DCB=60°，∠FCD=120°，∠CAB=∠GAE=60°，
∴∠EAD=120°，
∴∠FCD=∠EAD，
∵CD=$\sqrt{3}AD$，EG=CF=$\sqrt{3}$AE，
∴CD$\frac{CD}{AD}=\frac{CF}{AE}=\sqrt{3}$，
∴△DCF∽△DAE，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{DC}{AD}=\sqrt{3}$，∠FCD=∠EDA，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴DF=$\sqrt{3}$DE，DF⊥DE．