题目内容
15．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．（1）如图（1），AC=BC，点E，F分别在AC，BC上，∠EDF=90°，则DE与DF的数量关系为DE=DF．
（2）如图（2），AC=BC，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA的延长线上，求证：DE=DF，DE⊥DF；
（3）如图（3），∠B=30°，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA的延长线上，直接写出线段DE与DF的位置关系和数量关系．
分析 （1）欲证明DE=DF，只要证明△ADE≌△CDF即可．
（2）欲证明DE=DF，DE⊥DF，只要证明△ADE≌△CDF．
（3）欲证明DF=$\sqrt{3}$DE，DE⊥DF，只要证明△DCF∽△DAE相似比是$\sqrt{3}$即可．
解答 （1）证明：如图（1）中，
∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，AD=DC=DB，
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
故答案为DE=DF．
（2）证明：如图（2）中，
∵CF=GE，CF∥EG，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∴CE∥FG，
∴∠CAB=∠FGA=45°
∵∠ECF=∠ACB=90°，
∴四边形CEGF是矩形，
∴∠GEA=∠FGE=90°，
∴∠AGF=∠GAF=45°，
∴GE=AE=CF，
∵CD=DA=DB，∠DCB=∠GAE=45°，
∴∠FCD=∠DAE=135°，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DA}\\{∠FCD=∠EAD}\\{CF=AE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△DAE，
∴DE=DF，∠EDA=∠FDC，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴DE⊥DF．
（3）结论：DF=$\sqrt{3}$DE，DE⊥DF，
理由：如图（3）中，
由（2）可知四边形CEGF是矩形，
∴∠GEA=90°，
∵∠B=30°，CD⊥AB，
∴∠DCB=60°，∠FCD=120°，∠CAB=∠GAE=60°，
∴∠EAD=120°，
∴∠FCD=∠EAD，
∵CD=$\sqrt{3}AD$，EG=CF=$\sqrt{3}$AE，
∴CD$\frac{CD}{AD}=\frac{CF}{AE}=\sqrt{3}$，
∴△DCF∽△DAE，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{DC}{AD}=\sqrt{3}$，∠FCD=∠EDA，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴DF=$\sqrt{3}$DE，DF⊥DE．
点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
应用题作业本系列答案
如图，长方形ABCD的边AB=7，BC=4，则图中四个小长方形的周长之和为22．
如图所示，正五边形ABCDE的边长为1，⊙B过五边形的顶点A、C，则劣弧AC的长为$\frac{3}{5}$π．
如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，图中的全等三角形的对数（ ）| A． | 1对 | B． | 2对 | C． | 3对 | D． | 4对 |
小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A处（如图），为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：
| A． | 内含 | B． | 内切 | C． | 外切 | D． | 相交 |