如图.在平面直角坐标系中.二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为D.与y轴交于点C.与x轴交于A.B两点.点A在原点的左侧.点B的坐标为(3.0).OB=OC=3OA．(1)求这个二次函数的解析式,是该抛物线上一点.E是直线AG下方抛物线上的一动点.当点E运动到什么位置时.△AEG的面积最大?求此时点E的坐标和△AEG的最大面积,(3)若平行于x轴的直线与该抛� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB=OC=3OA．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如图，若点G（2，m）是该抛物线上一点，E是直线AG下方抛物线上的一动点，当点E运动到什么位置时，△AEG的面积最大？求此时点E的坐标和△AEG的最大面积；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径．

分析（1）根据已知条件，易求得C、A的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）可分别过E、G作x轴的垂线，设垂足为F、H；那么△AGE的面积=△AEF的面积+四边形FHGE的面积-△AGH的面积，设出E点的坐标，即可表示出F点坐标及EF的长，根据上面所得出的面积计算方法，可得出关于△AGE的面积与E点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质，即可求出△AGE的最大面积及对应的E点坐标；
（3）根据抛物线和圆的对称性，知圆心必在抛物线的对称轴上，由于该圆与x轴相切，可用圆的半径表示出M、N的坐标，将其入抛物线的解析式中，即可求出圆的半径；（需注意的是圆心可能在x轴上方，也可能在x轴下方，需要分类讨论）

解答解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
将A、B、C三点的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3；
（2）当x=2时，y=x²-2x-3=-3，即G（2，-3），
设AG的解析式为y=kx+b，将A、G代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
直线AG的解析式为y=-x-1．
过E作EF⊥x轴交AG于，F如图1，
E在抛物线上，F在直线AG上，
设E点坐标为（n，n²-2n-3），F（n，-n-1），
EF=（-n-1）-（n²-2n-3）=-n²+n+2
S=$\frac{1}{2}$EF•（_G-x_A）=$\frac{1}{2}$×（-n²+n+2）[2-（-1）]
=-$\frac{3}{2}$（n-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当n=$\frac{1}{2}$时，S最大值是$\frac{27}{8}$，
n²-2n-3=-$\frac{15}{4}$，即E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）如图2，
①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得R=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$；
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，-r），
代入抛物线的表达式，解得r=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
∴圆的半径为$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．