Question

14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax²．
（1）若直线l₁：y=x-1与抛物线C有且只有1个交点，求抛物线C的解析式．
（2）如图1，在（1）的条件下，在y轴上有一点A（0，4），过点A作直线l₂与抛物线C有两个交点M、N（N位于第一象限），过点N作x轴的垂线，垂足为H．试探究：是否存在l₂，使△MON∽△NHO？若存在，求出l₂的解析式；若不存在，说明理由．
（3）如图2，E、F为抛物线C（y=ax²）上两动点，始终满足OE⊥OF，连接EF，则直线EF是否恒过一定点G？若存在点G，直接写出G点坐标（用含a的坐标表示），若不存在，给予证明．
（参考结论：若直线l：y=kx+b上有两点（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则斜率k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$；当两直线l₁、l₂的斜率乘积k₁•k₂=-1时，l₁⊥l₂）

Answer 1

分析 （1）首先将l₁和抛物线C的解析式联立得：ax²-x+1=0，由直线l₁：y=x-1与抛物线C有且只有1个交点，可得△=0，继而求得a的值，即求得抛物线C的解析式；
（2）首先设l₂解析式为y=kx+b，然后与抛物线C解析式联立，再设点M（x₁，kx₁+4），N（x₂，kx₂+4），分别表示出OM，ON的斜率，然后求得k₁k₂=-1，即可证得OM⊥ON，则可求得l₂的解析式；
（3）与（2）类似，可以由k₁k₂=-1，求得G点坐标．

解答 解：（1）将l₁和抛物线C的解析式联立得：ax²-x+1=0，
∵y=x-1与抛物线C有且只有1个交点，
∴△=1-4a=0，
解得a=$\frac{1}{4}$，
∴C的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²；

（2）假设存在l₂，设l₂解析式为y=kx+b，
与抛物线C解析式联立得：$\frac{1}{4}$x²-kx-4=0，
设点M（x₁，kx₁+4），N（x₂，kx₂+4），
则直线OM、ON的斜率分别为k₁=$\frac{k{x}_{1}+4}{{x}_{1}}$，k₂=$\frac{k{x}_{2}+4}{{x}_{2}}$，
∴k₁k₂=k²+$\frac{4k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{16}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-16，
∴k₁k₂=k²+$\frac{16{k}^{2}}{-16}$+$\frac{16}{-16}$=-1，
∴OM⊥ON恒成立，∠MON=∠NHO=90°，
要想使△MON∽△NHO成立，只需再令∠MNO=∠NOH即可，
即MN⊥y轴，
∴存在l₂符合题意，l₂解析式为y=4；

（3）存在定点G，
假设存在l，设l解析式为y=kx+b，
与抛物线C解析式联立得：ax²-kx-b=0，
设点M（x₁，kx₁+b），N（x₂，kx₂+b），
则直线OM、ON的斜率分别为k₁=$\frac{k{x}_{1}+b}{{x}_{1}}$，k₂=$\frac{k{x}_{2}+b}{{x}_{2}}$，
∴k₁k₂=k²+$\frac{bk（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁•x₂=-$\frac{b}{a}$，OE⊥OF，
∴k₁k₂=k²+$\frac{bk•\frac{k}{a}}{-\frac{b}{a}}$+$\frac{{b}^{2}}{-\frac{b}{a}}$=-ab=-1，
∴b=$\frac{1}{a}$，
∴点G坐标为（0，$\frac{1}{a}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题．考查了一次函数与二次函数的交点问题，属于新定义题目．注意理解斜率的定义是解此题的关键．