Question

点E是矩形ABCD的DC边上任意一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，直线BE交△CEF外接圆⊙O于点G，连接CG、FG．
（1）求证：△ABE∽△GFC；
（2）若DE：CE=2：3，BH切⊙O于点H，且BH=2

10

，求BC长；
（3）在（2）的条件下，若AB=BE，求⊙O面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）由对顶角相等得∠AEB=∠GEF，再由圆周角定理得∠GEF=∠GCF，则∠AEB=∠GCF，利用AB∥CD得∠BAE=∠CEF，由圆周角定理得∠CEF=∠CGF，则∠BAE=∠CGF，于是可根据相似三角形的判定方法得到△ABE∽△GFC；
（2）根据矩形的性质得AD∥BC，AD=BC，则可得到△ADE∽△FCE，利用相似比得

AD

CF

=

2

3

，所以

BC

CF

=

2

3

，设BC=2a，则CF=3a，BF=5a，再利用切割线定理得到（2

10

）²=2a•5a，解得a=2，所以CF=6，BC=4；
（3）设DE=2t，则CE=3t，DC=5t，利用矩形的性质得AB=CD=5t，则BA=BE=5t，在Rt△BCE中利用勾股定理计算出BC=4t，则4t=4，解得t=1，所以EC=3，
再在Rt△CEF中利用勾股定理计算出EF=3

5

，由于∠ECF=90°，根据圆周角定理得到EF为⊙O的直径，于是得到⊙O的半径=

3 5

2

，然后根据圆的面积公式求解．

解答：（1）证明：∵∠AEB=∠GEF，
而∠GEF=∠GCF，
∴∠AEB=∠GCF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠CEF，
而∠CEF=∠CGF，
∴∠BAE=∠CGF，
∴△ABE∽△GFC；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC
∴△ADE∽△FCE，
∴

AD

CF

=

DE

EC

=

2

3

，
∴

BC

CF

=

2

3

，
设BC=2a，则CF=3a，BF=5a，
∵BH切⊙O于点H，
∴BH²=BC•BF，即（2

10

）²=2a•5a，解得a=2，
∴CF=6，BC=4；
（3）解：设DE=2t，则CE=3t，DC=5t，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=5t，
∵BA=BE，
∴BE=5t，
在Rt△BCE中，BE=5t，CE=3t，
∴BC=

BE2-CE2

=4t，
∴4t=4，解得t=1，
∴EC=3，
在Rt△CEF中，CF=6，CE=3，
∴EF=

CF2+CE2

=3

5

，
∵∠ECF=90°，
∴EF为⊙O的直径，
∴⊙O的半径=

3 5

2

，
∴⊙O面积=π•（

3 5

2

）²=

45π

4

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切割线定理三角形相似的判定与性质和矩形的性质；会勾股定理和相似比进行几何计算．