Question

2．某厂家为伦敦奥运会生产了A、B两种型号的奥运会吉样物UU200个，A，B两种型号UU的单价分别为30元、50元，购买A型号UU比B型号UU少用1200元，商场用甲、乙两种箱子共20个将UU运回，甲种每箱的运费为20元，乙种每箱的运费为15元．
（1）若每个甲箱最多能装4个A型号UU和8个B型号UU，每个乙箱最多能装8个A型号UU和2个B型号UU，则共有哪几种装箱方案？
（2）在（1）的条件下，哪种装箱方案最省钱？
（3）商场准备645元运这批UU，采用了（2）中最省钱的运送方案，剩余钱全部用来购买A、B两种型号的UU（每种UU至少买-个），请直接写出购买方案．

Answer 1

分析 （1）根据吉祥物的总数量、各自的总费用上的等量关系列出方程组，求得A、B吉祥物的数量；
由甲、乙纸箱可装A、B两型号UU的数量找到不等关系，确定纸箱数量的范围，从而确定方案；
（2）分别计算上述方案费用即可；
（3）根据余钱全部购买A、B型号UU，可设剩余钱购买A型号UUa个、B型号UUb个，得到方程，结合a、b均为正整数确定购买方案．

解答 解：（1）设生产的A、B两种型号UU分别有x个、y个，根据题意得
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=200}\\{30x+1200=50y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=110}\\{y=90}\end{array}\right.$
故A型号UU110个，B型号UU90个；
设甲种纸箱有m个，则乙种纸箱有（20-m）个，根据题意有
$\left\{\begin{array}{l}{4m+8（20-m）≥110}\\{8m+2（20-m）≥90}\end{array}\right.，解得\frac{25}{3}≤m≤\frac{25}{2}$，
∵m为正整数，
∴m取9、10、11、12；
装箱方案有如下四种：
①甲种箱子9个、乙种箱子11个；②甲种箱子10乙种箱子10个；
③甲种箱子11乙种箱子9个；④甲种箱子12乙种箱子8个；
（2）在（1）的条件下，
方案一的费用为：9×20+11×15=345（元）；方案二的费用为：10×20+10×15=350（元）；
方案三的费用为：11×20+9×15=355（元）；方案四的费用为：12×20+8×15=360元．
所以方案一：甲种箱子9个、乙种箱子11个最省钱．
（3）∵商场用645元运这批UU，按照方案一运费需要345元，
∴还剩余300元；
设剩余钱购买A型号UUa个、B型号UUb个，根据题意得
    30a+50b=300，
∵a、b均为正整数
∴a=5，b=3；
方案一剩余钱可购买A型号UU5个、B型号UU3个．

点评 本题主要考查利用方程和不等式解决实际问题的能力，解方程、不等式的求解能力，方案的制定与选择灵活、易考，属中档题．