如图.在平面直角坐标系xOy中.点A从点O开始沿x轴的正方向移动.点B在∠xOy平分线上移动.移动中保持AB=2不变.以AB为一边.着AB右侧作矩形ABCD.且BC=1．(1)当AB⊥OA时.请求出OC的长,(2)取AB的中点E.当O.E.C三点共线时.请求出OA.OC的长,(3)设△OAB的外接圆半径为R.请判断着移动过程中R的值是否发生变化.若不变.请求出R的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从点O开始沿x轴的正方向移动，点B在∠xOy平分线上移动，移动中保持AB=2不变，以AB为一边，着AB右侧作矩形ABCD，且BC=1．
（1）当AB⊥OA时，请求出OC的长；
（2）取AB的中点E，当O、E、C三点共线时，请求出OA、OC的长；
（3）设△OAB的外接圆半径为R，请判断着移动过程中R的值是否发生变化，若不变，请求出R的值，若变化，请说明理由；
（4）请直接写出线段OC的最大值．

分析（1）当AB⊥OA，求出OD、CD的长度，然后利用勾股定理即可求出OC的长度．
（2）当O、E、C三点共线时，如图所示，过点E作EF⊥OB于点F，过点C作CG⊥OB于点G，过点A作AH⊥OB于点H，可证明△BFE≌△BCG（AAS），从而可知设CG=x，BG=y，又可知△OEF∽△OCG，从而可求出x与y的值，再利用相似三角形的性质即可求出OC，再利用等腰三角形的性质即可求出OA的值．
（3）设△OAB的外接圆M，连接BM并延长交⊙M于N，连接AN，从而可知∠BOA=∠BNA=45°，∠BAN=90°，所以BN=$\sqrt{2}$AB．
（4）分别以A、B为圆心，AB为半径作圆，当圆A与OB、圆B与OA相切时，OC可最大值，此时算出两种情况下OC的长度，然后再进行比较即可．

解答解：（1）当AB⊥OA时，
∵∠BOA=45°，
∴OA=AB=2，
∵AD=BC=1，
∴OD=OA+AD=3，
由勾股定理可知：OC=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
（2）当O、E、C三点共线时，如图所示，
过点E作EF⊥OB于点F，过点C作CG⊥OB于点G，过点A作AH⊥OB于点H，
设CG=x，BG=y，
∵E是AB的中点，
∴BE=BC=1，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBE+∠CBG=∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠FBE=∠BCG，
在△BFE与△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠BCG}\\{∠EFB=∠BGC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$
∴△BFE≌△BCG（AAS）
∴EF=BG=y，BF=CG=x，
∵E是AB的中点，EF∥AH，
∴AH=2FE=2y，
∵∠AOB=45°，
∴OH=AH=2y，
∵EF∥CG，
∴△OEF∽△OCG，
$\frac{EF}{CG}$=$\frac{OF}{OG}$，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{2y+x}{2x+3y}$，
∴x²=3y²，
在Rt△BEF中，由勾股定理可知：
x²+y²=1，
∴4y²=1，
∴y=$\frac{1}{2}$或y=-$\frac{1}{2}$（舍）
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OG=2x+3y=$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$，CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△BEC中，
∴CE=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{EF}{CG}$=$\frac{OE}{OC}$，
∴$\frac{y}{x}=\frac{OE}{OE+\sqrt{2}}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴OC=OE+CE=$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$
∵OA=$\sqrt{2}$OH=2$\sqrt{2}$y，
∴OA=$\sqrt{2}$，

（3）设△OAB的外接圆M，
连接BM并延长交⊙M于N，连接AN，
∵$\widehat{AB}=\widehat{AB}$，
∴∠BOA=∠BNA=45°，
∵BN是⊙M，
∴∠BAN=90°，
∴BN=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∴R=$\sqrt{2}$
∴移动过程中R的值不会发生变化，
（4）以B为圆心，AB为半径作⊙B，
当⊙B与OA相切时，
此时AB⊥OA，
由（1）可知：OC=$\sqrt{13}$，
以A为圆心，AB为半径作⊙B，
当⊙A与OB相切时，
此时AB⊥OB，
∴AB=OB=2，
∴OC=OB+BC=3，
∵$\sqrt{13}$＞3，
∴线段OC的最大值为$\sqrt{13}$