Question

1．如图，直线y=kx+b（b＜0）与抛物线y=ax²相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，抛物线y=ax²经过点（4，-2）
（1）求出a的值；
（2）若x₁•OB-y₂•OA=0，求b的值；
（3）将抛物线向右平移一个单位，再向上平移n的单位．若在第一象限的抛物线上存在这样的不同的两点M、N，使得M、N关于直线y=x对称，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．首先证明△OAE∽△BOF，推出∠AOB=90°，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{8}{x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得到x²+8kx+8b=0，推出x₁x₂=8b，y₁y₂=-$\frac{1}{8}$x₁²•（-$\frac{1}{8}$x₂²）=$\frac{1}{64}$（x₁x₂）²=b²，由OA²+OB²=AB²，推出x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，可得-2x₁x₂-2y₁y₂=0，即-16b-2b²=0，解方程即可解决问题．
（3）设平移后的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{8}$（x-1）²+n，直线MN的解析式为y=-x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{8}（x-1）^{2}+n}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$消去y得到x²-10x+8m-8n+1=0，由M、N关于直线y=x对称，可得5=$\frac{m}{2}$，推出m=10，推出x²-10x+81-8n=0，由题意△＞0，可得100-4（81-8n）＞0，解不等式即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²经过点（4，-2），
∴-2=a×4²，得a=-$\frac{1}{8}$，即a的值是-$\frac{1}{8}$；

（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．


由题意OE=-x₁，BF=-y₂，
∵x₁•OB-y₂•OA=0，
∴OE•OB=BF•OA，
∴$\frac{OE}{BF}$=$\frac{OA}{OB}$，
∴△OAE∽△BOF，
∴∠AOE=∠OBF，
∵∠OBF+∠BOF=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠AOB=90°，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{8}{x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得到x²+8kx+8b=0，
∴x₁x₂=8b，y₁y₂=-$\frac{1}{8}$x₁²•（-$\frac{1}{8}$x₂²）=$\frac{1}{64}$（x₁x₂）²=b²，
∵OA²+OB²=AB²，
∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
∴-2x₁x₂-2y₁y₂=0，
∴-16b-2b²=0，
解得b=-8或0（舍弃），
∴b=-8．

（3）设平移后的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{8}$（x-1）²+n，直线MN的解析式为y=-x+m，

直线y=-x+m与直线y=x的交点为K，则K（$\frac{m}{2}$，$\frac{m}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{8}（x-1）^{2}+n}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$消去y得到x²-10x+8m-8n+1=0，
∵M、N关于直线y=x对称，
∴5=$\frac{m}{2}$，
∴m=10，
∴x²-10x+81-8n=0，
由题意△＞0，
∴100-4（81-8n）＞0，
解得n＞7．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．