Question

6．问题背景
在数学活动课上，张老师要求同学们拿两张大小不同的矩形纸片进行旋转变换探究活动．如图1，在矩形纸片ABCD和矩形纸片EFGH中，AB=1，AD=2，且EF＞AD，FG＞AB，点E是AD的中点，矩形纸片EFGH以点E为旋转中心进行逆时针旋转，在旋转过程中会产生怎样的数量关系，提出恰当的数学问题并加以解决．
解决问题
下面是三个学习小组提出的数学问题，请你解决这些问题．
（1）“奋进”小组提出的问题是：如图1，当EF与AB相交于点M，EH与BC相交于点N时，求证：EM=EN．
（2）“雄鹰”小组提出的问题是：在（1）的条件下，当AM=CN时，AM与BM有怎样的数量关系，说明理由．
（3）“创新”小组提出的问题是；若矩形EFGH继续以点E为旋转中心进行逆时针旋转，当∠AEF=60°时，请你在图2中画出旋转后的示意图，并求出此时EF将边BC分成的两条线段的长度．

Answer 1

分析 （1）先判断出PE=AE，再判断出∠PEN=∠AEM，进而得到△PEN≌△AEM，即可得出结论；
（2）先判断出PN=CN=$\frac{1}{2}$PC，进而求出PN=CN=$\frac{1}{2}$，再判断出AM=PN，即可得出BM=$\frac{1}{2}$，结论得证；
（3）在直角三角形PEM中，求出PM，再用线段的和差即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点E作EP⊥BC，垂足为点P，
则四边形ABPE是矩形，
∴PE=AB=1，∠AEP=90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴PE=AE，
∵∠MEN=∠AEP=90°，
∴∠MEN-∠MEP=∠AEP-∠MEP，
∴∠PEN=∠AEM，
∵PE=AE，∠EPN=∠EAM=90°，
∴△PEN≌△AEM，
∴EM=EN，
（2）由（1）知，△PEN≌△AEM，
∴AM=PN，
∵AM=CN，
∴PN=CN=$\frac{1}{2}$PC，
∵四边形EPCD是矩形，
∴PC=DE=1，PN=CN=$\frac{1}{2}$，
∴AM=PN=$\frac{1}{2}$，BM=AB-AM=$\frac{1}{2}$，
∴AM=BM，
（3）如图2，当∠AEF=60°时，
设EF与BC交于M，EH与CD交于N，过点E作EP⊥BC于P，连接EC，
由（1）知，CP=EP=1，AD∥BC，
∴∠EMP=∠AEF=60°，
在Rt△PEM中，PM=$\frac{EP}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=BP-PM=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CM=PC+PM=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴EF将边BC分成的两条线段的长度为1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出PE=AE，解（2）的关键是得出PN=CN=$\frac{1}{2}$，解（3）的关键是求出PM．