Question

4．如图1，AB是⊙O的直径，F为⊙O外一点，C为⊙O上一点，FC交⊙O于点E，且∠FAE=∠ECA．
（1）求证：AF是⊙0的切线；
（2）如图2，作CG⊥AB，交⊙O于点G，GC、AE的延长线交连接GE交AB于点H，如果∠ACE=45°．求证：AH=AF．

Answer 1

分析 （1）连结BE，如图1，由圆周角定理得到∠AEB=90°，则∠B+∠BAE=90°，而∠B=∠ACE，∠FAE=∠ECA，易得∠FAE+∠BAE=90°，于是根据切线的判定定理可判断AF是⊙0的切线；
（2）如图2，连结AG，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质证明∠AEF=∠AEG，再证明∠BAE=∠EAF=45°，则可判断△AEH≌△AEF，于是得到AH=AF．

解答 证明：（1）连结BE，如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠B+∠BAE=90°，
∵∠B=∠ACE，
∠FAE=∠ECA，
∴∠FAE+∠BAE=90°，即∠BAF=90°，
∴BA⊥AF，
∴AF是⊙0的切线；
（2）如图2，连结AG，
∵CG⊥AB，
∴弧AC=∠AG，
∴∠ACG=∠AGC，
∵∠AEF=∠AGC，
∴∠ACG=∠AEF，
∵∠ACG=∠AEG，
∴∠AEF=∠AEG，
∵∠ACE=45°，
∴∠ABE=∠ACE=45°，
而AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=45°，
∴∠EAF=45°，
在△AEH和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{HAE=∠FAE}\\{AE=AE}\\{∠AEH=∠AEF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△AEF，
∴AH=AF．

点评 本同考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理和垂径定理．