Question

14．设x＞0，试求：y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\sqrt{x+\frac{1}{x}+1}$的最大值是2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据式子的特点，先将原式分子化为有理式，针对于分式，分母越小式子的值越大和x+$\frac{1}{x}$≥2（x=$\frac{1}{x}$时，取等号）即可．

解答 解：y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\sqrt{x+\frac{1}{x}+1}$
=$\frac{[（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）-\sqrt{x+\frac{1}{x}+1}][（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）+\sqrt{x+\frac{1}{x}+1}]}{（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）+\sqrt{x+\frac{1}{x}+1}}$
=$\frac{（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}-[（x+\frac{1}{x}）+1]}{（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）+\sqrt{x+\frac{1}{x}+1}}$
=$\frac{1}{（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）+\sqrt{x+\frac{1}{x}+1}}$
∵x＞0，
∴$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2，（$\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$即：x=1时，取等号）
$x+\frac{1}{x}$≥2（x=$\frac{1}{x}$即x=1时，取等号）
∴当x=1时，（$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$）+$\sqrt{x+\frac{1}{x}+1}$有最小值为2+$\sqrt{3}$，
∴y_最大值=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，
故答案为2-$\sqrt{3}$．

点评 此题无理函数的最值，主要考查了x+$\frac{1}{x}$≥2（x=$\frac{1}{x}$时，取等号），类似于分母有理化的特点将分子化为有理式，这也是解本题的关键和难点．