Question

19．若x+y=3，则：$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值是5．

Answer 1

分析 本题目转化为在x轴上求一点到定点A（0，1），定点B（3，3）的距离和的最小值即可．

解答 解：∵y=-x+3，
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+9}$
∴求$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+9}$的最小值，可以看成在x轴上找一点P（x，0），使得点P到点A（0，1），点B（3，3）的距离之和最小，
如图，作BM⊥OA于M，A，A$′\\;\$关于原点对称，连接BA′与x轴的交点就是所求的点P．

在Rt△A′BM中，∵∠BMA′=90°，BM=3，A′M=4，
∴BA′=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴PA+PB的最小值=BA′=5，
故答案为5

点评 本题看成轴对称-最小值问题、两点间距离公式等知识，解题的关键是把问题转化为在x轴上求一点到定点A（0，1），定点B（3，3）的距离和的最小值问题，是数形结合的好题目，属于中考常考题型．