题目内容
1．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成三条线段AM、MN和BN，若MN2=AM•BN，则称MN是线段AB的比例中段，M、N是线段AB的中段分点．
（1）已知点M、N是线段AB的中段分点．
①若AM=2，MN=3，则BN=$\frac{9}{2}$；
②在图1中，若AB=7，MN=2，求AM的长．
（2）如图2，在△ABC中，MN是线段AB的比例中段，F、G分别是线段AC、BC延长线上的点，且FG∥AB，MC、NC的延长线分别交线段FG于点P，K．探究PK是否为线段FG的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
分析 （1）根据点M、N是线段AB的中段分点，可得MN2=AM•BN，据此进行计算即可；
（2）设$\frac{GF}{AB}$=k，根据平行线分线段成比例定理，得出$\frac{GK}{BN}$=k，$\frac{KP}{MN}$=k，$\frac{PF}{AM}$=k，再根据MN2=AM•BN，得出KP2=GK•PF，即可得到PK是线段FG的比例中段．
解答 解：（1）①由题可得，MN2=AM•BN，AM=2，MN=3，
∴BN=$\frac{9}{2}$；
故答案为：$\frac{9}{2}$；
②设AM=x，则由题可得：22=x（5-x），
解得x=1或4，
∴AM的长为1或4；
（2）PK是线段FG的比例中段．
理由：设$\frac{GF}{AB}$=k，
∵FG∥AB，
∴$\frac{GK}{BN}$=$\frac{GC}{BC}$=$\frac{GF}{AB}$=k，
同理，$\frac{KP}{MN}$=k，$\frac{PF}{AM}$=k，
∴GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，
∵MN是线段AB的比例中段，
∴MN2=AM•BN，
∴k2MN2=kMN•kBN，
∴KP2=GK•PF，
即PK是线段FG的比例中段．
点评 本题主要考查了相似三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
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