Question

13．已知：如图，在△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°．
（1）求证：AC²=3BC²．
（2）若CD⊥AB于D点，CE是中线，求证：∠BCD=∠DCE=∠ACE．

Answer 1

分析 （1）在直角△ABC中利用三角函数求得BC与AC的比值，从而证得；
（2）根据直角三角形的两锐角互余以及等边三角形的性质求得：∠BCD、∠DCE和∠ACE的度数，即可证得．

解答 证明：（1）∵直角△ABC中，∠A=30°，
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{B{C}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，即AC²=3BC²；
（2）∵直角△ABC中，∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴直角△BCD中，∠BCD=90°-∠B=90°-60°=30°．
∵CE是直角△ABC的中线，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=BE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°-∠BCD=60°-30°=30°，∠ACE=∠ACB-∠BCE=90°-60°=30°．
∴∠BCD=∠DCE=∠ACE．

点评 本题考查了三角函数以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边三角形的判定，正确理解直角三角形的性质是关键．