Question

5．如果两个圆有两个不同的公共点，我们就称这两个圆相交．如图1已知知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，我们就称线段AB是⊙O₁和⊙O₂的公共弦．
（1）求证：两圆圆心的连线O₁O₂垂直平分公共弦AB；
（2）如图2，⊙P与⊙O相交于点A、B，并且⊙P经过点O，点C是⊙P的优弧AB上任意一点（不与点A、B重合），弦OC交公共弦AB于点D，连结CA、CB．
①求证：CO平分∠ACB；
②当点C在⊙P上什么位置时，直线CA与⊙O相切？并说明理由；
③当∠ACB等于60°时，两圆的半径有什么关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出点O₁在线段AB的垂直平分线上，同理：O₂也在线段AB的垂直平分线上，即可得出结论；
（2）①判断出$\widehat{OA}=\widehat{OB}$，即可得出结论；
②延长与⊙P交于点F．若点C在点F位置时，直线CA与⊙O相切，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OAF=90°，进而得到OA⊥FA，即FA与⊙O相切；
③当∠ACB=60°时，两圆半径相等，作直径OF，连接BF，AF，OA，然后证明∠AFO=30°，再根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OA=$\frac{1}{2}$OF，进而得到OP=OA．

解答 解：（1）如图1，
连接O₁A，O₁B，O₂A，O₂B，
∴O₁A=O₁B，
∴点O₁在线段AB的垂直平分线上，
同理：O₂在线段AB的垂直平分线上，
∴O₁O₂是线段AB的垂直平分线，
两圆圆心的连线O₁O₂垂直平分公共弦AB；
（2）①同（1）的方法得出PO垂直平分AB，
∴$\widehat{OA}=\widehat{OB}$，
∴∠OCA=∠OCB，
∴CO平分∠ACB；

②解：如图2，延长与⊙P交于点F．
若点C在点F位置时，直线CA与⊙O相切，
理由：连接AF，
∵FO是⊙P的直径，
∴∠FAO=90°，
∴OA⊥FA，
∴FA与⊙O相切，
即点C在点F位置时，直线CA与⊙O相切．

③如图3，当∠ACB=60°时，两圆半径相等．理由：
解：作直径OF，连接BF，AF，OA，
∵∠AFB=∠ACB=60°，PO垂直平分AB，
∴$\widehat{AO}=\widehat{BO}$，
∴∠AFO=∠BEO，
∴∠AFO=30°，
∵OF是直径，
∴∠FAO=90°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OF，
∴OA=PO，
∴当∠ACB=60°时，两圆半径相等．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了线段的垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出点O₁在线段AB的垂直平分线上，解（2）的关键是判断出∠FAO=90°，是一道中等难度的中考常考题．