Question

13．如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x²-6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y轴上，且OA：AC=2：5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D．
（1）求出点A、点B的坐标．
（2）请求出直线CD的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的解法得出0A=2，0B=4，即可得出的A，B的坐标；
（2）首先利用角之间的关系得出△BOA∽△COD，即可得出D点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式．

解答 解：（1）∵x²-6x+8=0
∴x₁=4，x₂=2
∵0A、0B为方程的两个根，且0A＜0B
∴0A=2，0B=4
∴A（0，2），B（-4，0）；

（2）∵0A：AC=2：5，
∴AC=5，
∴OC=OA+AC=2+5=7，
∴C（0，7）．
∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90°，
∴∠PBD=∠OCD．
∵∠BOA=∠COD=90°，
∴△BOA∽△COD，
∴$\frac{BO}{CO}$=$\frac{OA}{OD}$，
∴OD=$\frac{OA•CO}{BO}$=$\frac{2×7}{4}$=$\frac{7}{2}$，
∴D（$\frac{7}{2}$，0）．
设直线 CD的解析式为y=kx+b，
把x=0，y=7；x=$\frac{7}{2}$，y=0分别代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=7}\\{\frac{7}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=7}\\{k=-2}\end{array}\right.$，
∴y_CD=-2x+7．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的判定和一元二次方程的解法等知识，相似三角形与函数经常综合出现，同学们应注意灵活应用．