Question

16．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据矩形的性质可得出⊙P和⊙Q的半径相等，利用直角三角形内切圆半径公式即可求出⊙P半径r的长度．连接点P、Q，过点Q作QE∥BC，过点P作PE∥AB交QE于点E，求出线段QE、EP的长，再由勾股定理即可求出线段PQ的长，此题得解．

解答 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴△ACD≌△CAB，
∴⊙P和⊙Q的半径相等．
在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴⊙P的半径r=$\frac{AB+BC-AC}{2}$=$\frac{3+4-5}{2}$=1．
连接点P、Q，过点Q作QE∥BC，过点P作PE∥AB交QE于点E，则∠QEP=90°，如图所示．

在Rt△QEP中，QE=BC-2r=3-2=1，EP=AB-2r=4-2=2，
∴PQ=$\sqrt{Q{E}^{2}+E{P}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故选B．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是求出⊙P和⊙Q的半径．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的借用了直角三角形内切圆的半径公式求出了⊙P和⊙Q的半径．