Question

17．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD，△BEC，△ACF
（1）判断四边形ADEF的形状．并证明你的结论；
（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）本题可根据三角形全等证得DE=AF，AD=EF，即可知四边形ADEF是平行四边形；
（2）要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°-90°-60°-60°=150°；
（3）根据等边三角形性质得出BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，求出∠DBE，证△DBE≌△ABC，推出DE=AC=AF，同理AD=EF得出平行四边形ADEF，根据菱形的判定判断即可．

解答 解：
（1）四边形ADEF为平行四边形，理由如下：
∵△ABD和△EBC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC；
∵∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC；
∵在△BDE和△BAC中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BAC，
∴DE=AC=AF，
同理可证：△ECF≌△BCA，
∴EF=AB=AD，
∴ADEF为平行四边形；
（2）当∠BAC=150°，四边形ADEF是矩形，理由如下：
∵四边形ADEF是矩形，
∴∠DAF=90°．
又∵等边△ABD、△BCE、△ACF，
∴∠DAB=∠FAC=60°．
∴∠BAC=360-∠DAF-∠FAC-∠DAB=150°．
当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
故答案为：150°；
（3）当△ABC满足条件AB=AC时，四边形ADEF是菱形，理由如下：
∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=∠CBA=60°-∠EBA，
在△DBE和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE=AC，
∵△AFC是等边三角形，
∴AF=AC，
∴AF=DE，
同理AD=EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
当AB=AC时，
∵AD=AB，AC=AF，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判断和性质、菱形的判定的应用以及矩形的判断，熟记各种特殊四边形的各种判断方法和性质是解题的关键．