对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G.给出如下定义:在图形G上若存在两点M.N.使△PMN为正三角形.则称图形G为点P的τ型线.点P为图形G的τ型点.△PMN为图形G关于点P的τ型三角形．(1)如图1.已知点$A.以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A.B两点中.⊙O的τ型点是点A.画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形,.点F．若线段EF为原点O的τ型线.且线段EF关于原� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的τ型线，点P为图形G的τ型点，△PMN为图形G关于点P的τ型三角形．
（1）如图1，已知点$A（0，-\sqrt{3}）$，B（3，0），以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A，B两点中，⊙O的τ型点是点A，画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可）
（2）如图2，已知点E（0，2），点F（m，0）（其中m＞0）．若线段EF为原点O的τ型线，且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为$\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$，求m的值；
（3）若H（0，-2）是抛物线y=x²+n的τ型点，直接写出n的取值范围．

分析（1）利用等边三角形的判定定理，由新定义易得⊙O的τ型点；
（2）作OL⊥EF于点L，如图2，根据新定义，利用三角形面积公式易得OL的长，由勾股定理易得EL的长，利用锐角三角函数得m；
（3）由H（0，-2）是抛物线y=x²+n的τ型点，可得∠AHO=30°，∠OAH=60°，可表示出通过H点的直线解析式为y=$\sqrt{3}$x-2，由当x²+n=$\sqrt{3}$x-2有解时，才有H（0，-2）是抛物线y=x²+n的τ型点，即△=3-4（n+2）≥0，即可求出n的取值范围．

解答解：（1）如图1，

∵JK=2，OJ=OK，AO⊥JK，
∴AJ=$\sqrt{A{O}^{2}+J{O}^{2}}$=2，同理可得：AK=2，
∴△AJK为正三角形，
同理可得△AMN为正三角形，
故点A为⊙O的τ型点，
画图见图1，
△AMN（或△AJK）为⊙O关于该τ型点的τ型三角形，
故答案为：点A；
（2）如图2，作OL⊥EF于点L，

∵线段EF为点O的τ型线，
∴OL即为线段EF关于点O的τ型三角形的高，
∵线段EF关于点O的τ型三角形的面积为$\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$，
∴正三角形的边长为$\frac{4}{3}$，OL=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∵OE=2，OF=m，
∴$EL=\sqrt{O{E^2}-O{L^2}}=\sqrt{{2^2}-{{（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
∴$cos∠1=\frac{EL}{OE}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$OF=\frac{OL}{cos∠2}=\frac{OL}{cos∠1}=\sqrt{2}$，
∴$m=\sqrt{2}$；
（3）如图3，

∵H（0，-2）是抛物线y=x²+n的τ型点，
∴∠AHO=30°，
∴∠OAH=60°，
∴通过H点的直线解析式为y=$\sqrt{3}$x-2，
∵y=x²+n，
∴当x²+n=$\sqrt{3}$x-2有解时，才有H（0，-2）是抛物线y=x²+n的τ型点，
即△=3-4（n+2）≥0，解得n≤$-\frac{5}{4}$，
∴当n≤$-\frac{5}{4}$时，H（0，-2）是抛物线y=x²+n的τ型点．