Question

1．如图，二次函数y=ax²-2ax-3a（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．若以BD为直径的⊙M经过点C．

（1）请直接写出C，D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）⊙M上是否存在点E，使得∠EDB=∠CBD？若存在，请求出所满足的条件的E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）计算横坐标为0的函数值即可得到C点坐标，然后将解析式配成顶点式即可得出点D的坐标；
（2）先利用二次函数与x轴的交点问题确定A点和B点坐标，再根据圆周角定理得到∠BCD=90°，则根据两点间的距离公式得BC²=9a²+9，CD²=a²+1，BD²=16a²+4，接着利用勾股定理得到9a²+9+a²+1=16a²+4，然后解方程求出a即可得到二次函数解析式；
（3）先计算出CD²=2，BC²=18，再根据圆周角定理，由∠EDB=∠CBD得弧CD=弧BE，则CD=BE，接着证明Rt△BED≌Rt△DCB，得到DE=BC，设E（x，y），根据两点间的距离公式得（x-1）²+（y-4）²=18，（x-3）²+y²=2，然后解方程组得x=4，y=1或x=$\frac{8}{5}$，y=-$\frac{1}{5}$，从而可得满足条件的E点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，ax²-2ax-3a-3a，则点C的坐标为（0，-3a）；
∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴点D的坐标为（1，-4a）；
（2）当y=0时，ax²-2ax-3a=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0），
∵BD为⊙M的直径，
∴∠BCD=90°，
而BC²=（0-3）²+（-3a-0）²=9a²+9，CD²=（0-1）²+（-3a+4a）²=a²+1，BD²=（3-1）²+（0+4a）²=16a²+4，
在Rt△BCD中，∵BC²+CD²=BD²，
∴9a²+9+a²+1=16a²+4，
整理得a²=1，解得a₁=-1，a₂=1（舍去）；
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+3；
（3）存在．
a=1，CD²=a²+1=2，BC²=9a²+9=18，
∵∠EDB=∠CBD，
∴CD=BE，
而BD为直径，
∴∠BED=90°，
∴Rt△BED≌Rt△DCB，
∴DE=BC，
设E（x，y），
∴ED²=（x-1）²+（y-4）²，BE²=（x-3）²+y²，
∴（x-1）²+（y-4）²=18，（x-3）²+y²=2，
解得x=4，y=1或x=$\frac{8}{5}$，y=-$\frac{1}{5}$，
∴满足条件的E点坐标为（4，1）、（$\frac{8}{5}$，-$\frac{1}{5}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与x轴的交点问题和圆周角定理；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长．