如图.已知直线y=mx+n与反比例函数y=$\frac{k}{x}$交于A.B两点.点A在点B的左边.与x轴.y轴分别交点C.点D.AE⊥x轴于E.BF⊥y轴于F．(1)若m=k.n=0.求A.B,两点的坐标,(2)如图1.若A(x1.y1).B(x2.y2).写出y1+y2与n的大小关系.并证明,(3)如图2.M.N分别为反比例函数y=$\frac{b}{x}$图象上的点.AM∥MN∥x轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．如图，已知直线y=mx+n与反比例函数y=$\frac{k}{x}$交于A、B两点，点A在点B的左边，与x轴、y轴分别交点C、点D，AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F．
（1）若m=k，n=0，求A、B；两点的坐标；
（2）如图1，若A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），写出y₁+y₂与n的大小关系，并证明；
（3）如图2，M、N分别为反比例函数y=$\frac{b}{x}$图象上的点，AM∥MN∥x轴．若$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$=$\frac{5}{3}$，且AM、BN之间的距离为5，则k-b=3．

分析（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=k}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-k}\end{array}\right.$，即可得出答案；
（2）把若A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）代入y=mx+n得出y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2n，由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得出mx²+nx-k=0，由根与系数关系得出x₁+x₂=-$\frac{n}{m}$，得出y₁+y₂=n即可；
（3）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则M（x₃，y₁）、N（x₄，y₂），由反比例函数得出x₁y₁=x₂y₂=k，x₃y₁=x₄y₂=b，由坐标与图形性质得出AM=x₃-x₁=$\frac{b}{{y}_{1}}$-$\frac{k}{{y}_{1}}$=$\frac{b-k}{{y}_{1}}$，bn=x₂-x₄=$\frac{k}{{y}_{2}}$-$\frac{b}{{y}_{2}}$=$\frac{k-b}{{y}_{2}}$，y₂-y₁=5，再结合已知条件，即可得出答案．

解答解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=k}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-k}\end{array}\right.$，
∴A（1．k），B（-1，-k）；
（2）y₁+y₂=n；理由如下：
把若A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）代入y=mx+n中，
则y₁=mx₁+n，y₂=mx₂+n，
∴y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2n，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得：mx+n=$\frac{k}{x}$，
∴mx²+nx-k=0，
∵直线y=mx+n与反比例函数y=$\frac{k}{x}$交于A、B两点，
∴x₁+x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴y₁+y₂=m•（-$\frac{n}{m}$）+2n=-n+2n=n；
（3）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵AM∥MN∥x轴．∴M（x₃，y₁）、N（x₄，y₂），
∴x₁y₁=x₂y₂=k，x₃y₁=x₄y₂=b，AM=x₃-x₁=$\frac{b}{{y}_{1}}$-$\frac{k}{{y}_{1}}$=$\frac{b-k}{{y}_{1}}$，bn=x₂-x₄=$\frac{k}{{y}_{2}}$-$\frac{b}{{y}_{2}}$=$\frac{k-b}{{y}_{2}}$，y₂-y₁=5，
∵$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{{y}_{1}}{b-k}$+$\frac{{y}_{2}}{k-b}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{k-b}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{5}{k-b}$=$\frac{5}{3}$，
∴k-b=3；
故答案为：3．

点评本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数的应用、坐标与图形性质、方程组的解法、根与系数关系等知识；本题综合性强，有一定难度．

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