Question

18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：PC=PF；
（3）若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，AB=14，求线段PC的长．

Answer 1

分析 （1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；
（2）由条件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF；
（3）易证△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到$\frac{PC}{PB}=\frac{AC}{BC}$，又因为tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，所以可得$\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$，进而可得到$\frac{PC}{PB}=\frac{4}{3}$，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，利用勾股定理可得PC²+OC²=OP²，进而可建立关于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长．

解答 （1）证明：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）证明：∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF；
（3）解：∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴$\frac{PC}{PB}=\frac{AP}{PC}$．
又∵tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{PC}{PB}=\frac{4}{3}$，
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC²+OC²=OP²，
∴（4k）²+7²=（3k+7）²，
∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．
∴PC=4k=4×6=24．

点评 此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，是一道不错的中考题题目．