Question

17．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A₁B₁O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是（5，$\sqrt{3}$），翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为（$\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896）π．

Answer 1

分析 如图作B₃E⊥x轴于E，易知OE=5，B₃E=$\sqrt{3}$，观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M的运动路径为$\frac{120•π•\sqrt{3}}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$=（$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$）π，由2017÷3=672…1，可知翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•（$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$）π+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π=（$\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896）π．

解答 解：如图作B₃E⊥x轴于E，易知OE=5，B₃E=$\sqrt{3}$，
∴B₃（5，$\sqrt{3}$），
观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M的运动路径为$\frac{120•π•\sqrt{3}}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$=（$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$）π，
∵2017÷3=672…1，
∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•（$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$）π+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π=（$\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896）π．
故答案为（$\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896）π．

点评 本题考查轨迹、规律题、弧长公式、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，循环从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．