Question

6．如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=$\frac{1}{4}$AB．
（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S_△PAB=S_△OAB，求△PAB周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，证出$\frac{AF}{AE}=\frac{BG}{BA}$，得出△AEF∽△BAG，由相似三角形的性质得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE=90°即可；
（2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；
（3）过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，则MN⊥AD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=$\frac{1}{2}$MN=2，连接EG，则EG∥AB，EG=AB=4，证明△AOF∽△GOE，得出$\frac{OF}{OE}=\frac{AF}{EG}$=$\frac{1}{4}$，证出$\frac{AM}{EM}=\frac{OF}{OE}$=$\frac{1}{4}$，得出AM=$\frac{1}{5}$AE=$\frac{2}{5}$，由勾股定理求出PA，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，
∵点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=$\frac{1}{4}$AB．
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{BG}{BA}$，
∴△AEF∽△BAG，
∴∠AEF=∠BAG，
∵∠BAG+∠EAO=90°，
∴∠AEF+∠EAO=90°，
∴∠AOE=90°，
∴EF⊥AG；

（2）解：成立；理由如下：
根据题意得：$\frac{AF}{BG}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AF}{BG}=\frac{AE}{AB}$，
又∵∠EAF=∠ABG，
∴△AEF∽△BAG，
∴∠AEF=∠BAG，
∵∠BAG+∠EAO=90°，
∴∠AEF+∠EAO=90°，
∴∠AOE=90°，
∴EF⊥AG；

（3）解：过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如图所示：
则MN⊥AD，MN=AB=4，
∵P是正方形ABCD内一点，当S_△PAB=S_△OAB，
作点A关于MN的对称点A′，连接BA′，与MN交于点P，此时△PAB的周长最小，
∵PA=PA′，易证PA=PB，PM=PN，
此时PA=PB，PM=$\frac{1}{2}$MN=2，
连接EG、PA、PB，则EG∥AB，EG=AB=4，
∴△AOF∽△GOE，
∴$\frac{OF}{OE}=\frac{AF}{EG}$=$\frac{1}{4}$，
∵MN∥AB，
∴$\frac{AM}{EM}=\frac{OF}{OE}$=$\frac{1}{4}$，
∴AM=$\frac{1}{5}$AE=$\frac{1}{5}$×2=$\frac{2}{5}$，
由勾股定理得：PA=$\sqrt{P{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{26}}{5}$，
∴△PAB周长的最小值=2PA+AB=$\frac{4\sqrt{26}}{5}$+4．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．