Question

9．有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=$\frac{1}{k}$x与y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y=$\frac{1}{k}$x与y=$\frac{k}{x}$，当k＞0时的图象性质进行了探究．
下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数y=$\frac{1}{k}$x与y=$\frac{k}{x}$图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（-k，-1），则B点的坐标为（k，1）；
（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．
证明过程如下：设P（m，$\frac{k}{m}$），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．
则$\left\{\begin{array}{l}{-ka+b=-1}\\{ma+b=\frac{k}{m}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=}\\{b=}\end{array}\right.$$\frac{1}{m}$
$\frac{k}{m}$-1
∴直线PA的解析式为y=$\frac{1}{m}$x+$\frac{k}{m}$-1
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正、反比例函数图象的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标；
（2）①设P（m，$\frac{k}{m}$），根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，过点P作PH⊥x轴于H，由点P的坐标可得出点H的坐标，进而即可求出MH的长度，同理可得出HN的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可证出PM=PN；
②根据①结合PH、MH、NH的长度，可得出△PAB为直角三角形，分k＞1和0＜k＜1两种情况，利用分割图形求面积法即可求出△PAB的面积．

解答 解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，
∵A点的坐标为（-k，-1），
∴B点的坐标为（k，1）．
故答案为：（k，1）．
（2）①证明过程如下，设P（m，$\frac{k}{m}$），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．
则$\left\{\begin{array}{l}{-ka+b=-1}\\{ma+b=\frac{k}{m}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{m}}\\{b=\frac{k}{m}-1}\end{array}\right.$，
∴直线PA的解析式为y=$\frac{1}{m}$x+$\frac{k}{m}$-1．
当y=0时，x=m-k，
∴M点的坐标为（m-k，0）．
过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，
∵P点坐标为（m，$\frac{k}{m}$），
∴H点的坐标为（m，0），
∴MH=x_H-x_M=m-（m-k）=k．
同理可得：HN=k．
∴MH=HN，
∴PM=PN．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{m}}\\{b=\frac{k}{m}-1}\end{array}\right.$；y=$\frac{1}{m}$x+$\frac{k}{m}$-1．
②由①可知，在△PMN中，PM=PN，
∴△PMN为等腰三角形，且MH=HN=k．
当P点坐标为（1，k）时，PH=k，
∴MH=HN=PH，
∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，
∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，
∴△PAB为直角三角形．
当k＞1时，如图1，
S_△PAB=S_△PMN-S_△OBN+S_△OAM，
=$\frac{1}{2}$MN•PH-$\frac{1}{2}$ON•y_B+$\frac{1}{2}$OM•|y_A|，
=$\frac{1}{2}$×2k×k-$\frac{1}{2}$（k+1）×1+$\frac{1}{2}$（k-1）×1，
=k²-1；
当0＜k＜1时，如图2，
S_△PAB=S_△OBN-S_△PMN+S_△OAM，
=$\frac{1}{2}$ON•y_B-k²+$\frac{1}{2}$OM•|y_A|，
=$\frac{1}{2}$（k+1）×1-k²+$\frac{1}{2}$（1-k）×1，
=1-k²．

点评 本题考查了正（反）比例函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据正、反比例函数图象结合点A的坐标求出点B的坐标；（2）①利用等腰三角形的三线合一证出PM=PN；②分k＞1和0＜k＜1两种情况求出△PAB的面积．