Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为（3，15），且过点（-2，10），对称轴AB交x轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛物线上，点D′是点D关于直线EC的轴对称点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D′恰好落在y轴上的点（0，6）时，求此时D点的坐标；
（3）直线CD′交对称轴AB于点F；
①当点D′在对称轴AB的左侧时，且△ED′F∽△CDE，求出DE：DC的值
②连结B D′，是否存在点E，使△E D′B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE：BC的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先设出抛物线的顶点式，然后根据待定系数法即可求得；
（2）过E点作EF⊥y轴于F，设D的坐标（m，-

1

5

（m-3）²+15．），则EF=ED′=m-3，CD′=CD，EF=3，D′O=6，然后根据三角形相似对应边成比例得出关于m的方程，解方程求得m的值即可求得D的坐标；
（3）①根据对折的性质得出∠DCE=∠D′CE，R然后根据平行线和三角形相似即可求得∠D′EF=∠BEC=∠CEB，从而得出∠D′CE=∠DCE=30°，解直角三角形即可求得；②根据等腰三角形的性质，圆周角的性质，得出∠BCD′=∠D′CE=∠BEC，从而得出∠BEC=30°，解直角三角形即可求得；

解答：解：（1）∵抛物线的顶点A的坐标为（3，15），且过点（-2，10），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x-3）²+15，
∴10=a（-2-3）²+15，解得：a=-

1

5

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

5

（x-3）²+15．

（2）如图2，过E点作EF⊥y轴于F，
设D的坐标（m，-

1

5

（m-3）²+15．），则EF=ED′=m-3，CD′=CD，EF=3，D′O=6，
∵△EFD′∽△D′OC，
∴

EF

D′O

=

ED′

D′C

，
即：

3

6

=

m-3

- 1 5 (m-3)2+15

，
整理得：（m-3）²+10（m-3）-75=0，
解得：m=-12（舍去）m=8，
∴D（8，10）；

（3）①如图1，根据对折的性质，∠DCE=∠D′CE，
∵DC∥BE，
∴∠DCE=∠BEC，
∵△ED′F∽△CDE，
∴∠D′EF=∠DCE=∠D′CE，
∴∠D′EF=∠BEC=∠CEB，
∵∠D′EF+∠BEC+∠CEB=90°，
∴∠D′CE=∠DCE=30°，
∴

DE

DC

=tan∠DCE=tan30°，
∴DE：DC=

3

：3．

②如图3，∵△E D′B为等腰三角形，
∴D′E=D′B，
∴∠D′EB=∠D′BE，
∵D′E=BC，
∴D′B=BC，
∠BD′C=∠D′CB，
∵∠EBC=∠ED′C=90°，
∴E、D、′B、C四点共圆，
∴∠D′BE=∠D′CE，∠D′CB=∠D′EB，∠BD′C=∠BEC，
∴∠BCD′=∠D′CE=∠BEC，
∵∠BCD′+∠D′CE+∠BEC=90°，
∴∠BEC=30°，
∴

BE

BC

=cot30°=

3

，
∴BE：BC=

3

：1．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质对折的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，解直角三角形等；