Question

已知命题：“P是等边三角形ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA=PB=PC．”证明这个命题，并写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．

Answer 1

考点：命题与定理

专题：

分析：首先画出图形，由PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，根据角平分线的判定得出BP平分∠ABC，由BA=BC，根据等腰三角形三线合一的性质得出BP是AC的垂直平分线，同理，AP是BC的垂直平分线，CP是AB的垂直平分线，那么P是△ABC三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质即可证明PA=PB=PC；
将原命题的题设与结论交换位置即可写出其逆命题；可证明其逆命题成立．先由PA=PB，AC=BC，根据线段垂直平分线的判定得出CP是AB的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出CP平分∠ACB，同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，那么P是△ABC三个角的角平分线的交点，根据角平分线的性质即可得出PD=PE=PF．

解答：解：如图，已知P是等边三角形ABC内的一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD=PE=PF．求证：PA=PB=PC．
证明：∵PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，
∴BP平分∠ABC，
∵BA=BC，
∴BP是AC的垂直平分线，
同理，AP是BC的垂直平分线，CP是AB的垂直平分线，
∴P是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA=PB=PC．
逆命题：P是等边三角形ABC内的一点，若PA=PB=PC，则P到三边的距离相等．其逆命题成立．
证明：∵PA=PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C在AB的垂直平分线上，
∴CP是AB的垂直平分线，
∴CP平分∠ACB，
同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∴P是△ABC三个角的角平分线的交点，
∴PD=PE=PF．

点评：本题考查了命题与定理，角平分线、线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，难度适中．利用数形结合是解题的关键．