Question

19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，AB=$\frac{3}{2}$，BC=2，P是BC边上的一个动点（点P与点B不重合），DE⊥AP于点E．设AP=x，DE=y．求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 由AD∥BC得出∠DAE=∠APB，结合两个直角得出△ADE∽△PAB，由相似三角形的性质即可得出y与x之间的关系，由P是BC边上的一个动点（点P与点B不重合）可得出x的取值范围．

解答 解：连接AC，如图，

由勾股定理可得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵P是BC边上的一个动点（点P与点B不重合），
∴AB≤AP＜AC，即$\frac{3}{2}$≤x＜$\frac{5}{2}$．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠APB（两直线平行，内错角相等），
又∵∠ABP=∠DEA=90°，
∴△ADE∽△PAB，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{AD}{AP}$，即$\frac{y}{\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{x}$，
∴y关于x的函数关系式：y=$\frac{3}{2x}$（$\frac{3}{2}$≤x＜$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定以及性质，解题的关键是找出△ADE∽△PAB，依据相似三角形的性质即可得出y与x之间的关系．