Question

14．小明和小芳、小冲今天又在一起切磋学习数学的体会，小明给出了如图题目：

如图1，已知直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，如果在AB，CD之间有一点P，连接PE，PF，你认为∠AEP与∠CFP及∠P之间有怎样的数量关系？证明你的结论．
小冲看完题目后，立即补完图形，很快提出猜想，并进行了证明．他的猜想是：∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°．其证明过程如下：
证明：如图2，过点P作直线MN∥AB，
因为MN∥AB（已作），
所以∠AEP+∠EPM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为AB∥CD（已知），MN∥AB（已作），
所以MN∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），
所以∠CFP+∠FPM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°．
小芳看过了小冲的猜想和证明后提出质疑，认为小冲的猜想不完整，你认为小芳的质疑正确吗？说说你的理由．

Answer 1

分析 结合题意画出图形，过P点作MN∥AB，利用平行线的性质定理“两直线平行，内错角相等”可得结论．

解答 解：正确，
若如图所示，过P点作MN∥AB，
∵MN∥AB，
∴∠EPM=∠AEP，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠FPN=∠CFP，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPF，
∴以上问题共两种情况：∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°或∠AEP+∠CFP=∠EPF．

点评 本题主要考查了平行线的性质定理，能够发现两种情况，分类讨论是解答此题的关键．