Question

14．已知如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE+EA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE=∠DAO=∠ODA，即可证明∠ODE=90°．
（2）利用△DAE∽△CAD得到AD²=AC•AE求出AE，再根据DE²=EA•EB解决问题．

解答 （1）证明：如图1作连接OD．
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵DA平分∠CAM，
∴∠DAE=∠OAD=∠ODA，
∵DE⊥MN，
∴∠DEA=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠ODA=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：如图2中，设AE=x，则DE=6-x，AD=$\sqrt{{x}^{2}+（6-x）^{2}}$，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADC=∠DEA=90°，∠DAC=∠DAE，
∴△DAE∽△CAD，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∴AD²=AC•AE，
∴x²+（6-x）²=10x
x=2（或9不合题意舍弃）
∴AE=2，ED=4，
∵DE是切线，
∴DE²=EA•EB，
∴16=2（2+AB），
∴AB=6．

点评 本题考查圆的切线的判定、直径的性质、勾股定理切割线定理、相似三角形的判定和性质等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．