Question

11．如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．
（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；
（2）四边形ABC'D′的周长为4$\sqrt{3}$；
（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．

Answer 1

分析 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可；
（2）先判定四边形ABC'D'是菱形，再根据边长AB=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，即可得到四边形ABC'D′的周长为4$\sqrt{3}$；
（3）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长．

解答 解：（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，
∴AD∥B'C'
∴四边形AB'C'D是平行四边形，
∵B'为BD中点，
∴Rt△ABD中，AB'=$\frac{1}{2}$BD=DB'，
又∵∠ADB=60°，
∴△ADB'是等边三角形，
∴AD=AB'，
∴四边形AB'C'D是菱形；

（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，
∴AB∥C'D'，
∴四边形ABC'D'是平行四边形，
由（1）可得，AC'⊥B'D，
∴四边形ABC'D'是菱形，
∵AB=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，
∴四边形ABC'D′的周长为4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$；

（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：

∴矩形周长为6+$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$+3．

点评 本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．