Question

16．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，△DMN是等边三角形，连接BD交MN于P，给出下列结论：①AM=CN；②∠CDN=15°；③BD垂直平分MN；④AM+CN=MN，其中结论正确的共有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 通过条件可以得出△ADM≌△CDN，从而得出∠ADM=∠CND，AM=DCN，由正方形的性质就可以得出BM=BN，就可以得出BD垂直平分MN，设MB=x，由勾股定理表示出MN、PB，再通过比较可以得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°．
∵△BMN等边三角形，
∴DM=DN=MN，∠MDN=60°．
∴∠ADM+∠CDN=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADM≌Rt△CDN（HL），
∴AM=CN（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，∠ADM=∠CDN
∴∠CDN=15°（故②正确），
∵AB=BC，AM=CN
∴BM=CN，
∵DM=DN=AF，
∴BD垂直平分MN．（故③正确）．
设BM=x，由勾股定理，得
MN=$\sqrt{2}$x，BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
DP=DMin60°=MNsin60°=2×PMsin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$x，
∴AB=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x，
∴AM=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x-x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$x，
∴AM+CN=$\sqrt{3}$x-x≠$\sqrt{2}$x．（故④错误）．
故答案为：①②③．
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．