Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，AE⊥CD，BF⊥CD，CH⊥AB．求证：BD=CG．

Answer 1

分析 根据同角的与角相等，可得∠CAE=∠BCF，根据全等三角形的判定与性质，可得CE=BF，根据等角的余角相等，可得∠ECG=∠DBF，再根据全等三角形的判定与性质，可得答案．

解答 证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC=90°．
∵∠EAC+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90，
∴∠CAE=∠BCF．
在△ACE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCF}\\{∠AEC=∠CFB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
△ACE≌△CBF（AAS）．
∴CE=BF．
∵∠CDH与∠BDF是对顶角，
∴∠CDH=∠BDF．
∵∠CDH+∠ECG=90°，∠BDF+∠DBF=90°，
∴∠ECG=∠DBF．
在△CEG和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECG=∠DBF}\\{CE=BF}\\{∠CEG=∠F}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△BFD（ASA），
∴CG=BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题关键．